Évariste Galois (1811 - 1832)

Matemático Frances muito brilhante, nascido num vilarejo ao sul de Paris, chamado Bourg-l'Egalité, hoje conhecida como Bourg-la-Reine. Filhos de Nicholas Gabriel Galois e Adelaide Marie Demante. Seu pai era prefeito de Bourg-la-Reine, um homem culto e cortês e durante seu mandato como prefeito conquistou o respeito da comunidade, sua mãe tinha formação em filosofia, literatura clássica e religião. 

Com a idade de doze anos, Évariste Galois foi para a escola no Liceu de Louis-le-Grand.Era uma instituição de prestígio e muito autoritária. Entre 12 e 15 anos ele era um aluno apático, mais sua paixão pela matemática surgiu após ler os trabalhos de Joseph-Louis Lagrange e Adrien-Marie Legendre. Em menos de cinco anos, já dominava praticamente toda a matemática de sua época, principalmente a obra de Abel e Lagrange. 

Era um jovem muito rebelde e genioso, envolvia-se em conflito com seus mestres, por isso não encontrava apoio para publicar seus artigos, levando a reprovação em vários exames, como para entrar na École Polytechnique (duas vezes) e na Academia, passando também a odiar examinadores e acadêmicos. 

Aos 17 anos escreveu um artigo onde expôs suas descobertas fundamentais entregando-o a Cauchy para que o apresentasse na Academia, e o mesmo perdeu seu trabalho. Logo após perdeu seu pai que, devido a intrigas clericais, se suicidou. Com todos esses acontecimentos ele ingressa em uma Escola Normal para preparar-se a fim de ensinar, sempre continuando com suas pesquisas. 

Em 1830 escreveu um artigo para o concurso de Matemática da Academia entregando-o para Fourier, que morreu logo depois e o artigo foí perdido. Com tantas frustrações Galois acabou por aderir às causas da revolução de 1830, foi expulso da Escola Normal e mais tarde entrou para a guarda nacional. Galois iniciou suas pesquisas com um trabalho de Lagrange sobre permutações de raízes, o que lhe deu condições necessárias e suficientes para concluir que equações polinomiais são resolúveis por radicais e, baseado nas provas de Abel, descobriu que as equações algébricas irredutíveis são resolúveis por radicais somente se o grupo de permutações sobre suas raízes também é resolúvel. 

Sobre isso forneceu um algoritmo para achar essas raízes, assim como outros postulados sempre voltados mais para a estrutura algébrica do que para casos específicos, dando um tratamento aritmético à Álgebra. Em suas obras está implícito o conceito de "corpo" que mais tarde Dedekínd definiria de forma explícita. 

Na época Galois entregou a Poisson um artigo contendo sua teoria e este o classificou de "incompreensível", mas hoje o que chamamos de "Matemática Moderna" nada mais é do que as idéias de Galois que estão chegando até nós. 

Em 1932, após seu envolvimento com Stéphanie-Félice Poterine du Motel, esta comprometida com um cidadão chamado Pescheux d`Herbinville, que descobriu a infidelidade de sua noiva e desafiou Galois para um duelo, em nome de um código de honra, o mesmo não pode evitar o duelo. 

Na noite antecedente ao duelo ele acreditava ser a última oportunidade que teria para registrar suas idéias no papel, ele escreveu cartas para os amigos explicando as circunstâncias. 

No dia 30 de maio encontrou seu adversário recebendo um tiro fatal, socorrido por um camponês, morreu num hospital para onde foi levado, aos 20 anos de idade. 

História dos números

Ao longo de toda historia da humanidade os conceitos de número veio apresentando evoluções e esse conceito tem influenciado diretamente nossa cultura e na nossa linguagem.

Mas o que é que nos fez, criar tão importante conceito?

O sentido do número em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar que exige um fenômeno mental mais complicado .O surgimento dos números ocorreu devido a necessidade que o homem tinha de contar e isso desencadeou os primeiros alicerces para o surgimento dos números.

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores. As civilizações convenceram-se que precisavam de algo mais concreto que pudesse ajudar a exprimir e a contar os objetos. Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.

Assim, foram surgindo diversos sistemas de representação dos números por todo o mundo ao longo dos tempos, sendo os mais antigos que se conheçam os que são oriundos do Egípcio, Suméria e Babilónia.

Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da matemática

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, ele quem escreveu o Papiro Ahmes. Este por sua vez era um antigo manual de matemática, que continha 80 problemas todos resolvidos. Não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete símbolos.

Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado aproximadamente 4 mil anos. Essa civilização utilizava um sistema de base 60 em sua contagem. Seus símbolos eram grafados em pedras, cerâmica e em papiro.

Dentre as civilizações mais antigas podemos dizer que os romanos foram os mais importantes. Os romanos não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto. sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia1.000.

Neste sistema de numeração a posição dos símbolos influenciava no resultado.

Não podemos esquecer os hindus, seus valiosos métodos de cálculos eram fantásticos, e os cálculos eram feitos com apenas nove sinais. A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero – ainda não tinha chegado ao Ocidente. Esta última evolução no grafismo numérico foi efetivada pelos árabes, quando transcreveram a representação Hindu para os pergaminhos.

No século VIII, os árabes adotaram o sistema Hindu de representação, e quando iniciaram o processo de conquista muçulmana-árabe, difundiram a atual representação numérica (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) por todo o ocidente. Esta última evolução no grafismo numérico, foi efetivada pelos árabes, quando transcreveram a representação Hindu para os pergaminhos.

Os calculadores faziam seus cálculos em tábuas de poeira (algarismos Ghobar).

A introdução dos algarismos Hindus na Europa, já foi mais complicado, pois, na Idade Média, o povo não tinha acesso à cultura, no entanto o Papa Romano contestava a representação Hindu e a inferiorizava constantemente.

Mas Gebert d'Aurillac, foi precursor, e levou a numeração Hindu para a Europa, e ele foi tão contrariado, que os cristãos o definiam como um ser demoníaco.

Ao descrevermos sobre a escrita numérica, não podíamos de esquecer de ressaltar alguns pensamentos interessantes entre os povos antigos. Alguns, não contavam pessoas, pois seria a mesma coisa que condená-la à morte. Em Uruk(2850 anos a. C.), o casamento era um contrato, cujo 'valor da noiva', era definido e representado na argila. A solidão em antigas tribos, era representada pelo número 1.

Representamos mecanicamente os números e usufruímos dos mesmos constantemente em nosso dia-a-dia. A engenharia, a computação e a mecânica por exemplo, não existiam sem a representação numérica. Como vimos, o tempo para atingirmos a base 10 e a atual representação, foi cerca de 500 anos, no entanto, concluímos, que as descobertas baseiam-se em estudos prévios, atingindo assim, um ponto de equilíbrio, demonstrando o caráter dialético do processo de evolução da história e da humanidade.

O SIGNIFICADO E O PAPEL DO “ERRO” NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Por Eguimara Branco

Todos nós erramos; porém cada qual a seu modo... (Lichtenberg)

Enquanto educadora e tendo como base alguns trabalhos desenvolvidos em escolas do ensino fundamental, grupos de estudo com professores e alguns projetos em escolas públicas, é possível perceber que o ensino da Matemática ainda é representado com características próprias do século XX.

A Matemática ensinada na escola ainda é mecânica e exata, são conjuntos de passos e fórmulas, onde, os professores continuam mostrando exemplos de atividades no quadro de giz e, como resultado, esperam que os alunos sejam capazes de resolver listas de exercícios, exatamente iguais. Ensinam conteúdos que os alunos jamais utilizarão a não ser nas aulas de Matemática.

Enquanto a tecnologia emerge na sociedade fora das escolas, alguns professores ainda estão discutindo o uso de calculadoras nas salas de aula. Ou seja, a Matemática ensinada na maioria das escolas hoje, não está adequada a uma sociedade que nas últimas décadas, desenvolveu-se como nunca, e o que temos como resultado disso tudo, é a Matemática como uma das disciplinas que mais reprova, causa insucesso e induz ao abandono escolar. (PINTO, 2004, p.119)

Em defesa a toda essa situação, muitos professores justificam a falta de atenção dos alunos a pré-requisitos necessários para compreensão e interesse na matéria, ou ainda, falta de maturidade e tempo.

É sabido de todas as dificuldades dos professores, até pelas características da escola pública com problemas de infra-estrutura, condições físicas, políticas que se fazem presente nas escolas. No entanto, em termos de ensino de Matemática em sala de aula, o foco de atenção ainda está nos conteúdos que serão trabalhados, e qual conteúdo deve ser apropriado pelo aluno em cada série. E em se falando em aulas de Matemática, valoriza-se prioritariamente o acerto como resultado de aprendizagem dos conteúdos, sendo o “erro”, nesse caso, condição de “fracasso”.

Diante desse quadro, muitos professores, deixam de explorar em seus alunos, o questionamento, a experimentação, a criatividade, a inquietação, reduzindo as aulas de Matemática a um mero treinamento baseado na repetição e memorização. (ROCHA, 1998, p.23)

O aluno, normalmente, chega à escola, ávido de aprendizagem e traz consigo uma enorme bagagem de informações e situações vividas em seu cotidiano. Em sala de aula, diante da resolução de um problema matemático, ou outra atividade qualquer, habitualmente o professor espera que ele – aluno – obtenha um resultado único como resposta. E se acaso isso não aconteça, normalmente o professor desconsidera todo processo de construção e lhe atribui um 0 (zero) como valor de avaliação da questão. O que precisa ficar claro e que não é percebido, é que para o aluno chegar a esse resultado “errado”, ele precisa raciocinar e que todo entendimento a respeito do que lhe foi passado esta representado no processo que conduz a resposta errada.

A escola construtivista

Associada às contribuições no domínio da psicologia cognitivista de Jean Piaget, mas também de Bruner, Novak, Ausebel e outros.

Passa-se a priorizar os procedimentos e as estratégias cognitivas que conduzem o aluno à sua própria aprendizagem. Leva-se em consideração as normas, os valores e/ou os princípios que estão subjacentes ao contexto e ao processo de aprendizagem. O professor deve agora conhecer as principais leis evolutivas e de aprendizagem e adaptá-las à sua prática pedagógica.

A atividade desenvolvida gira em torno de um projeto educativo comum e de um projeto curricular que sistematiza a vida da escola. Todas as estruturas das escolas são envolvidas na aprovação dos seus documentos essenciais, assim como na sua avaliação.

A gestão requer uma direção dirigida para a planificação, a orientação do processo, a gestão dos recursos e estruturas, procurando suscitar permanentes consensos.

Na relação professor-aluno, o professor é um mediador no processo de ensino aprendizagem.

Compete-lhe planejar, orientar, organizar, proporcionar recursos, e encaminha as diferentes atividades realizadas pelos alunos. Ele não é um mero instrutor, nem um simples avaliador. Ele ajuda o aluno a relacionar os conhecimentos novos (descobertos na atividade) com os anteriores, deixando o controle de todo o processo a cargo dos alunos.

A definição do currículo corresponde ao que a escola decidir, em função das suas necessidades específicas, e tendo em conta as metas fixadas pelo Estado. Este currículo é, portanto, aberto e flexível. O aluno avança no conhecimento com a mediação do professor através do planejamento e organização dos recursos da ação, e o controle, que permite refletir e observar a própria prática. O processo didático fundamenta-se na aprendizagem significativa e numa metodologia inspirada na investigação-ação. Os manuais escolares e outros suportes de caráter instrumental são transformados em projetos curriculares a serem desenvolvidos na sala de aula, pois o aluno que enfrenta situações de aprendizagem diferentes necessita de materiais didáticos variados, e adequados às novas situações.

A escola comportamentalista

O seu modelo pedagógico é a pedagogia por objetivos.

Identifica-se com o modelo de uma escola disciplinada, tendo como padrões elevados padrões de eficácia.

O processo de gestão, nesta escola, requer um tipo de gestão centralizada, com organogramas piramidais, uma forte dependência do poder central. A grande preocupação está na definição do papel das estruturas, funções, perfis e organogramas detalhados e normalizados. Nesta escola, a legislação e a sua correta interpretação possuem um papel fundamental, assim como tudo o que está escrito: atas, normas, memórias, etc. O estilo de direção é o do burocrata, ordenado e meticuloso que se move com facilidade no meio dos papéis.

Na relação professor-aluno, o professor converte-se num burocrata, cuja única função é interpretar em objetivos operativos e terminais os objetivos gerais definidos pelo Estado, e verificar continuamente se os alunos os conseguem atingir. A relação professor-aluno está marcada por centenas de objetivos que devem ser atingidos ao longo de todo o processo de ensino-aprendizagem.

Quanto a organização curricular, o saber é transmitido em pequenas unidades previamente divididas em função de objetivos específicos susceptíveis de

serem mensuráveis. O aluno recebe estes conteúdos sem qualquer relação com os seus conhecimentos prévios.

O currículo transforma-se numa estrutura fechada e excessivamente dirigida. A obsessão pela eficácia imediata da ação educativa traduz- se numa programação dos conteúdos do currículo de forma que se manifestem em condutas observáveis em cada objetivo, o que conduz a uma homogeneização de métodos e técnicas, e de receitas para cada objetivo.O material curricular centra-se basicamente no uso de livro-texto, tendo como finalidade facilitar ao professor as tarefas programadas para conseguir atingir os objetivos. Muitas vezes surgem como recursos as fichas de apoio destinadas a cobrir objetivos mais específicos. Dado que o processo de ensino aprendizagem se orienta para atingir condutas observáveis, a avaliação de cada conduta condiciona o passo seguinte de processo de aquisição de uma nova conduta.

A escola ativa

Um modelo escolar assentado na interação de todos os elementos que compõem a comunidade escolar.

As relações pessoais são privilegiadas, assim como a preocupação de manter todos os canais de informação a funcionar de forma eficaz. O poder está muito repartido. Requer uma direção apostada na animação e negociação.

Na relação professor-aluno, o professor remete-se para uma posição de facilitador de um processo de aprendizagem que é da iniciativa do aluno. A criatividade, a iniciativa, a liberdade individual, a ação e a descoberta, são valores que preconizam todas as relações de trabalho. Na organização do currículo, tudo é orientado em função dos interesses e vivências dos alunos, neste sentido os programas são muito abertos e pouco estruturados. Professores e alunos fazem coisas e aprendem em conjunto.

No processo didático, a aula é convertida numa oficina, onde os alunos aprendem destrezas, hábitos, técnicas para descobrir o mundo. A elaboração de quadros conceituais é, desta forma, secundarizados face às atividades de realização de coisas.

Na escola nova não existe um livro-texto, são os próprios alunos que constroem os seus próprios recursos educativos, com a ajuda do professor.

Quanto a avaliação, a escola ativa não dá ênfase a esta função, pois a importante é o próprio processo de aprendizagem.

A escola nova

Uma escola aberta, descentralizada e crítica da sociedade.

Nela são valorizadas as interações com o meio social e se procura enriquecer as vivências dos alunos incorporando no currículo a cultura circundante, ou seja, o contexto em que a escola está situada. Fala-se pouco em disciplina, mas muito em convivência.

A relação professor-aluno parte do princípio de que o aluno é o centro da escola, o protagonista principal do processo de ensino aprendizagem, em torno do qual se desenvolvem os programas curriculares e a atividade profissional do docente. O professor é o orientador do processo educativo.

O currículo é muito diversificado, contemplando todos os aspectos da formação integral duma pessoa.

O processo de ensino-aprendizagem centra-se na atividade e a experiência do

aluno serve de base para a educação intelectual. Introduz-se o conceito de

manipulação como princípio da aprendizagem, reforçando a ligação entre a teoria e a prática como importante para os trabalhos manuais. O professor conduz o processo de aprendizagem partindo da experiência do aluno, da observação, da manipulação, de atividades sobre realidades concretas como forma de se atingir a abstração pelo método indutivo.

A avaliação é de natureza qualitativa, valorizando a participação ativa dos alunos e o seu crescimento subjetivo dentro do processo de construção da sua aprendizagem.

Principais características das escolas: tradicional, nova, ativa, comportamentalista e construtivista.

A escola tradicional

A autoridade não se questiona, nem se discutem as decisões. O protótipo de gestor destas escolas identifica-se com o burocrata autoritário, cuja principal preocupação é o controle da aplicação dos programas e ordens emanadas do Estado. Nessa escola o aluno recebe ordens, normas recomendações do professor e exercita a disciplina, a obediência e o espírito de trabalho. Trata-se de uma relação de superioridade do professor sobre o aluno, em que o saber aparece sob a forma de unidades isoladas de estudo, com enfoque enciclopédico definido de modo muito limitado.

O processo didático preconiza os métodos dedutivos de ensino-aprendizagem, no qual o aluno recorre o caminho de aprendizagem do abstrato para o concreto, do geral para o particular, do remoto para o próximo. A preocupação central do professor e a memorização e a repetição dos conceitos. Os materiais didáticos baseiam-se em um modelo que valoriza os livros-texto repletos de conteúdos informativos e conceituais, fragmentados de forma a serem mais facilmente memorizados pelos alunos. A avaliação dos alunos se constitui no controle da aprendizagem e se realiza unicamente mediante exames, que refletem a capacidade de retenção e de acúmulo de conhecimento memorizado pelos alunos.

Pérolas Matemáticas

Desafio

Um bolsa tem 27 bolas de bilhar que parecem idênticas. É certo que há uma bola defeituosa que pesa mais que as outras. Dispomos de uma balança com 2 pratos. Demonstre que se pode localizar a bola defeituosa como somente três pesagens.

Bloxorz

Consiga fazer com que o bloco caia no espaço quadrado para passar ao proximo nivel.

Sudoku

Sudoku, por vezes escrito Su Doku, (em japonês: 数独, sūdoku, pronúncia sudokú) é um quebra-cabeça baseado na colocação de lógica de números. O objetivo do jogo é a colocação de números de 1 a 9 em cada uma das células vazias numa grade de 9×9, constituída por 3×3 subgrades chamadas regiões. O quebra-cabeça contém algumas pistas iniciais. Cada coluna, linha e região só pode ter um número de cada um dos 1 a 9. Resolver o problema requer apenas raciocínio lógico e algum tempo. Os problemas são normalmente classificados em relação à sua realização. Fonte: Wikipedia

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Métodos Diferente de Multiplicação

Método de Multiplicação Chinês


Truque de Multiplicação

Pérolas Matemáticas

26 dicas matemáticas

Você sabia que...

1. O menor complementar e o cofator são iguais em módulo?

2. Uma curva é o traço deixado por um ponto móvel e, que, a linha reta é um caso particular de curva?

3. Uma reta tangente à uma circunferência forma sempre um ângulo reto ( 90º ) com o raio, no seu ponto de tangência?

4. Que um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3?

5. Num produto de matrizes AxB = BxA quando A é inversa de B e quando A ou B for matriz identidade.

6. Para calcularmos o volume de um prisma reto ou de um cilindro reto devemos multiplicar a área da base pela altura do poliedro.

7. Que não existe logaritmo de número negativo?

8. Que polígono é uma figura plana que possui vários lados?

9. Que poliedro é uma figura espacial que possui várias faces?

10. Que x, x + 2p , x + 4p , x + 6p , x + 8p , etc, são denominados números congruentes (ou côngruos), quando representados no mesmo ponto da circunferência trigonométrica?

11. Que corda máxima representa o diâmetro de uma circunferência?

12. Para determinarmos uma equação da circunferência, devemos possuir as coordenadas do centro e o raio?

13. Só existe fatorial de números naturais?

14. Fatorial de zero é igual a 1?

15. Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual o diâmetro, então ele é triângulo retângulo?

16. Se um quadrilátero convexo é inscrito numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares.

17. Que os números racionais podem ser escritos como razões entre inteiros e números irracionais não?

18. Que números racionais têm representação decimal finita ou périódica (dízimas)?

19.Que números irracionais têm representação decimal periódica infinita não-periódica( por exemplo, o número p )?

20. Se "a" é primo, então os únicos divisores de "a" são +1, -1, +a, -a , com a ¹ ± 1.

21. Se "a" e "b" são primos entre si, então os únicos divisores comuns de "a" e "b" são +1 e –1.

22. O Teorema de Binet enuncia que: " Se A e B são matrizes quadradas, de mesma
ordem n, então det(A.B) = det A . det B ?

23. Dizer que um sistema de equações lineares é incompatível é o mesmo que dizer impossível?

24. Só podemos adicionar ou subtrair radicais se forem semelhantes ( mesmo índice e radicando )?

25. A única função trigonométrica crescente em todos os quadrantes é a tangente?

26. Baricentro é o ponto de intersecção das medianas. É também o centro de gravidade de um corpo ou de um objeto. Ceviana é um segmento de reta que liga um vértice de um triângulo a um ponto qualquer do lado oposto. A altura, a mediana ou a bissetriz do triângulo são cevianas particulares. O nome ceviana é homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano ( 1648-1736 ). Figuras geométricas congruentes são aquelas com medidas respectivamente iguais.

Relógio para matematicos

Que tal lembrar dos calculos e fórmulas até na hora de olhar as horas? Ou quem sabe exibir sua matemática binária para consultar as horas do dia?
Relogios matematicos dos mais diversos tipos estão aí pra isso..escolha já o seu.
Se você ficou interessado,esse site americano ThinkGeek disponibiliza os relogio binários em duas versões : esse da foto abaixo e a versão de pulso.